群論

群の準同型写像 f:G→G' があるとき、G' の単位元を e' とすると、 で定められる集合 Ker(f) を f の核という。

(群の)準同型

2つの群G, G' に写像 f:G→G' が定められているとき、f が f(ab) = f(a)f(b)を満たすなら、f は準同型写像と呼ばれる。

軌道と固定部分群

群Gが集合Mの上に働いているとき、Mの任意の点 x0 に関して、 x0 の軌道 G(x0) (⊂M)と x0 の固定部分群 (⊂G)との間には、密接な関係がある。

共役類と中心化群

ここでは、群Gの自分自身の上への両側からの働き を考えることにし、G‐軌道というときにはすべてこの働きに関するものだとする。 (定義)a∈Gに関し、a を含むG‐軌道に属する元を「a に共役な元」という。a に共役な元全体のつくる集合を「a の共役類」…

群の直積

2つの群G、Hが与えられたとき、集合としての直積 の中に、群の演算を で定義したものを、GとHのやはり「直積」といい、これもG×Hで表す。

群の中心

群Gの元 g で、Gのすべての元と可換になるものの全体は、Gの部分群となる。この部分群をGの「中心」といい、Zであらわす。すなわち、

固定部分群の定義

群Gは集合Mの上に働いているとする。Mの点 x0 を止める( x0 = g(x0) ということ)Gの元全体のつくるGの部分群を、x0 の「固定部分群」あるいは「安定部分群」という。

軌道

群Gは集合Mの上に働いているとする。このとき、Mの任意の点x に関し、 と置き、G(x) を、点x のGによる「軌道(またはG‐軌道)」という。もちろん g(x)∈M, G(x)⊂M である。

有限群から対称群への準同型写像(群の表現)

位数 n の有限群Gから、n 次の対称群 への準同型写像 が存在する。この準同型写像 は、Gの左からの働き によって引き起こされる。同様に、G自身の上への、右側からの働き や、両側からの働き によっても、Gから への準同型写像が得られる。かかる準同型…

準同型写像

(定義)群Gから群G'への対応 があって、 が成り立つとき、 をGからG'への「準同型写像」という。

群の働き

(定義)群Gが集合Mの上に働くとは、Gの各元 g に対してMからMへの写像(変換) が決って、次の性質を満たしていることである。(1)g1( g2(x) ) = g1 g2(x) (x∈M, g∈G)(2)Gの単位元 e に関して e(x) = x (x∈M)

位数が素数の群/クラインの四元群

(定理)有限群Gの位数は素数 p であるとする。 (1)Gは巡回群である。 (2)単位元以外の元は、すべて位数 p をもつ。

群の位数と元の位数

(定理) 有限群Gの元 a の位数は、|G|の約数である。

有限群の中の巡回部分群

Gを一般の有限群とし、その位数を n とする。Gの任意の元 a を取り、繰り返し積を作っていくと、 という系列が得られる。

巡回群の定義

位数 n の群Gを考え、Gの或る元 a で (e は単位元)となるようなものからGが と表されるとき、その群を位数 n の(有限)「巡回群」といい、 と書く。a をGの「生成元」という。Gは a によって生成される。 は可換群である。

巡回置換

n 次の置換で、 と写して他を変えないものを、 と書き、s 次の「巡回置換」という。

有限群とその部分群の位数

Gが有限群であり、その部分群をHとする。このとき、次の定理が成り立つ。(定理)(ラグランジュ) Hの位数はGの位数の約数である。

部分群による類別

まず、群Gとその部分群Hが与えられているとする。このとき、Gの元 a,b に関し、 というようにして、Gに同値関係〜を導入できる。

同値関係

a,b の間にある関係が成り立っており、それを a〜b と書くとき、これらに次のことが成り立っていれば、それを「同値関係」という。

部分群の定義

群Gの部分集合Hが次の条件を満たすとき、HをGの「部分群」という。

互換の定義

n 次の対称群 (n≧2)の元で、2つの数字 i,j を入れ替える置換を「互換」といい、記号 (i j) で表す。

群の同型の定義

2つの群G,G'が次の条件を満たすとき、GとG'は「同型」であるという。

対称群の定義

一般に n個のもの の置換全体の作る群を、 上の「置換群」、あるいは「n 次の対称群」といい、 で表す。

群の定義

集合Gが以下の条件を満たすとき、これを「群」という。

交代群

n 次の対称群 の中で、偶置換全体の作る群を と表し、n 次の「交代群」という。

偶置換と奇置換

n 次の対称群の元σが、偶数個の互換の積として表されているとき、σを「偶置換」といい、奇数個の互換の積として表されているなら、それを「奇置換」という。