群Ｇは集合Ｍの上に働いているとする。このとき、Ｍの任意の点x に関し、
と置き、Ｇ(x) を、点x のＧによる「軌道（またはＧ‐軌道）」という。もちろん g(x)∈Ｍ, Ｇ(x)⊂Ｍ である。
このとき、次の結果が成り立つ。
（証明）仮に ならば、Ｇ(x) と Ｇ(y) に共通に含まれるＭの点z が存在する。z∈Ｇ(x) だから z=g(x) と表すことができ、また z∈Ｇ(y) だから z=g'(y) と表される。したがって、
となり、y∈Ｇ(x) となってしまって仮定 に矛盾する。（証明終）
Ｍの各点を通るＧ‐軌道は、決して互いに共通点を持たない。ゆえに、Ｍは互いに共通点のないＧ‐軌道たちの直和になる。また、簡単なことだが、x'∈Ｇ(x) のとき、Ｇ(x)=Ｇ(x') も成り立つ。
