まず、群Ｇとその部分群Ｈが与えられているとする。このとき、Ｇの元 a,b に関し、
というようにして、Ｇに同値関係〜を導入できる。
（証明）（ａ）Ｈは群だから、単位元 e を含んでいる。したがって により a〜a。
（ｂ）a〜b より 。Ｈは群だから、
の逆元も含んでいる。ゆえに
これはすなわち、b〜a。
（ｃ）a〜b, b〜c より、 という関係が成り立っている。Ｈは群だから、
の積もまたＨに含まれている。したがって、
このことは a〜c を示している。（証明終）
なお、a〜b は のことだから、「Ｈの適当な元 h が存在して b = ah」といっても同じことである。
群Ｇの部分群Ｈが与えられ、上の仕方でＧに同値関係を入れると、それによってＧの元が「類別」される。Ｇの元 a が与えられると、a に同値な元は、上により ah（h はＨの元）と表されている（a〜ah）。よって、Ｇの部分集合 aＨ を
と定義すると、aＨ は a を含む「同値類」を与えていることになる。この aＨ を、「a を含むＨに関する左剰余類」という。この同値類 aＨ を元とする「商集合」を Ｇ/Ｈ と書く。すなわち
である。
単位元 e を含む同値類は、eＨ = Ｈ によりＨそのものである。また、a と b が同値でなければ、aＨ と bＨ は異なる同値類となり、共通部分をもたない。すなわち である。ゆえに
と書ける。
