群の準同型写像 f:G→G' があるとき、G' の単位元を e' とすると、
  
で定められる集合 Ker(f) を f のという。

このとき、f が単射であることと、Ker(f) = {e}(e はGの単位元)であることは同値である。
(証明)f が単射ならば、f(x) = e' = f(e) とすると x = e なので明らか。
 逆に、Ker(f) = {e} とする。このとき、G の元 x, y について f(x) = f(y) だとすると、この式に左から f(x)-1 を掛ければ e' = f(x)-1f(y) = f(x-1y) となり、仮定より x-1y = e, すなわち x = y。よって f は単射。(証明終)

またさらに、G について K = Ker(f) を考えると、K は G の部分群である。さらに、G の元 x について K の左剰余類を xK とすると、任意の x ∈ G に関して
  
が成り立つ。

(証明)a, b ∈ K とすると、f(ab) = f(a)f(b) = e'e' = e' より ab ∈ K。また、 f(a-1) = f(a)-1 = (e')-1 = e' より a-1 ∈ K。よって K は G の部分群である。
 また、左剰余類 xK に関し y ∈ xK で y = xp(p ∈ K)なる y をとると、f(y) = f(xp) = f(x)f(p) = f(x)。逆に f(y) = f(x) とすると、f(x-1y) = f(x-1)f(y) = f(x)-1f(x) = e' だから x-1y ∈ K。ところが y = x(x-1y) なのだから、y ∈ xK が云える。
 右剰余類 Kx についてもまったく同様。(証明終)