偶置換と奇置換

n 次の対称群の元σが、偶数個の互換の積として表されているとき、σを「偶置換」といい、奇数個の互換の積として表されているなら、それを「奇置換」という。
 このとき、次のことが成り立つ。
(1)σ,τが偶置換ならば、(a)στも偶置換 (b)σの逆元も偶置換。
(2)σ,τが奇置換ならば、(a)στは偶置換 (b)σの逆元は奇置換。
 さらに、σが偶置換、τが奇置換ならば、στは奇置換。
 ここで、置換の「符号」というものを導入する。すなわち、置換σに関して sgn σ という関数を考え、σが偶置換なら 1, 奇置換なら -1 の値を取るものとする。このとき、上の結果は、
    
とまとめられる。