対称群の定義

一般に n個のもの 置換全体の作る群を、 上の「置換群」、あるいは「n 次の対称群」といい、 で表す。
  の元は一般に、
     
と表すことができる。ここで、 は、列 1,2,…,n の並びを入れ替えたものである。もちろん と対応するのである。上を略記して、
     
と書く。
 n 次の対称群の位数は、n!である。
 一般に、n≧3 のとき は非可換群である。
 なお、対称群の元σ,τの積στは置換を連続して行うことで定義されるが、その順番は、τが先でσが後になる。


(例) を考えよう。位数6の群である。
   
   
であり、例えば
   
となる。また、
   
である。