軌道と固定部分群

群Gが集合Mの上に働いているとき、Mの任意の点 x0 に関して、 x0軌道 G(x0) (⊂M)と x0固定部分群 ⊂G)との間には、密接な関係がある。
簡単のため、Gは有限群であるとする。このとき、x0 のG‐軌道 G(x0) は、有限個の点からなるMの部分集合となるから、これを
   
と置く。点 x0 を点 xi に移すGの元は必ず存在するが、いまそれが仮に2つあったとして、それらを gi, gi'とする。すなわち
   
このとき、 より、 となる。すなわち
   
となるが、以上は逆もまたいえる。この式は、 と書き直してみればわかるように、gi と gi'が の同じ左剰余類(参照)に属していることを示している。
 したがって、G(x0) の各 xi に対して、xi=gi(x0) を満たすGの元 gi を一つ選んでおくと、Gの の左剰余類による分解類別
   
が得られて、
       
      
        ………
     
と対応する。
 この意味で、x0 のG‐軌道と、Gの による左剰余類による集合とが、一対一に対応することがわかった。これはGが有限群でなくても成立する。

群GがM上に働くとき、Mの一点 x0 のG‐軌道と、Gの固定部分群 による左剰余類が、一対一に対応する。

また、Gの分解より、
   
だから(参照)、すなわち、G‐軌道 G(x0) に現れる点の個数は、Gの位数の約数である。