『複素関数入門』メモ（３） - オベリスク備忘録

神保道夫『複素関数入門』の問題を解きます。
第１章問５

$z=re^{i\theta}$ のとき、 $1/(1-z)$ の実部・虚部をr,θで表せ。

　　 $p\equiv \frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-re^{i\theta }}=\frac{1}{1-r(\cos\theta +i\sin\theta )}$
　　　 $=\frac{(1-r\cos\theta )+ir\sin\theta }{(1-r\cos\theta )^2+r^2\sin^2\theta }=\frac{(1-r\cos\theta )+ir\sin\theta }{1-2r\cos\theta +r^2}$
ゆえに
　　 $Re\ p=\frac{1-r\cos\theta }{1-2r\cos\theta +r^2}\ ,\ \ \ \ Im\ p=\frac{r\sin\theta }{1-2r\cos\theta +r^2}$