複素数の対数関数

極々初歩的ながら、複素数の対数関数の基礎をまとめておく。
まず、複素数の対数関数の定義は、
   
で行う。ここで、前にもやったように(参照)、正の実数 x の対数関数を特別に のように書く(これは一般的な記法ではない。後で主値を使った一般的な書き方に替える)。さて、オイラーの公式より、  だから、
   
となること(対数関数の多価性)に注意されたい。


 z を極形式で書くと(θは実数)、 に注意して、
   
すなわち
   
となる。これは多価関数である。例えば(θ = π に注意)
   
となるなど。
 多価性を単純化するために、ここで n = 0, -π<θ≦π としたものを Log z と書き、対数の主値という。これは一価である。すなわち
   
である。ここで z が正の実数 x ならば、(θ = 0 より) だから、これより右辺の代わりに左辺の(主値を使った記法の)ように書くことにする。この記法で書けば、
   
となる。ここで w = u + iv = Log z と置けば、u = Log|z|, v = θ となる。


一般の対数は、θ = arg z(-π<θ≦π)として
   
      
であり、
   
で、u は主値の場合と同じだが、v は様々な値を取る。


複素関数を学ぶ人のために

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