極々初歩的ながら、複素数の対数関数の基礎をまとめておく。
まず、複素数の対数関数の定義は、
で行う。ここで、前にもやったように（参照）、正の実数 x の対数関数を特別に のように書く（これは一般的な記法ではない。後で主値を使った一般的な書き方に替える）。さて、オイラーの公式より、
だから、
となること（対数関数の多価性）に注意されたい。
z を極形式で書くと（θは実数）、 に注意して、
すなわち
となる。これは多価関数である。例えば（θ = π に注意）
となるなど。
多価性を単純化するために、ここで n = 0, -π＜θ≦π としたものを Log z と書き、対数の主値という。これは一価である。すなわち
である。ここで z が正の実数 x ならば、（θ = 0 より） だから、これより右辺の代わりに左辺の（主値を使った記法の）ように書くことにする。この記法で書けば、
となる。ここで w = u + iv = Log z と置けば、u = Log|z|, v = θ となる。
一般の対数は、θ = arg z（-π＜θ≦π）として
であり、
で、u は主値の場合と同じだが、v は様々な値を取る。
