複素数の三角関数 - オベリスク備忘録

複素数の三角関数は、以下のように冪級数で定義する。
　　　 $\sin z\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
　　　 $\cos z\equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}$
これらは、（無限遠点を除いた）複素平面全体で絶対収束する。これはもちろん、z が実数でも成り立つ。また、
　　　 $\sin(-z)=-\sin z$
　　　 $\cos(-z)=\cos z$
は明らか。

これより、z = x + iy（もちろん x, y は実数）とすると、指数法則より
　　　 $e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iy)^n}{n!}$
　　　　　 $=e^x \left\{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iy)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iy)^{2n+1}}{(2n+1)!} \right\}$
　　　　　 $=e^x \left\{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}y^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}y^{2n+1} \right\}$
　　　　　 $=e^x(\cos y+i\sin y)$
となる。普通は、これが複素数の指数関数の定義になっている本が多い。ここで z = iθ（θは実数）と置けば、オイラーの公式
　　　 $e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$
が得られる。

複素数の指数関数の定義より、
　　　 $e^{iz}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(iz)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}+i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$
　　　　　 $=\cos z+i\sin z$
となるから（z は複素数であることに注意。これはオイラーの公式ではない）、z を -z で置き換えて、
　　　 $e^{-iz}=\cos z-i\sin z$
となる。よって、
　　　 $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
　　　 $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$
となる。これも z が複素数であることに注意。

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