複素数の双曲線関数 - オベリスク備忘録

複素数の双曲線関数は、次のように定義される（参照）。
　　　 $\cosh z \equiv\sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n}}{(2n)!}=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$
　　　 $\sinh z \equiv \sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$
　　　 $\tanh z\equiv \frac{\sinh z}{\cosh z}$
こう定義すると、
　　　 $e^z =\cosh z + \sinh z$
　　　 $\cosh^2 z - \sinh^2 z =1$
が成立する。
　以上、複素数の三角関数の定義を参照されたい。三角関数との間には、
　　　 $\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cosh (iz)$
　　　 $\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=-i\sinh (iz)$
の関係があることはすぐわかる。これより、複素関数を考えれば、三角関数と双曲線関数は殆ど同じものであることがわかる。
　これらを使うと、三角関数の実部と虚部を求めることができる。すなわち、
　　　 $\cos z=\cos(x+iy)=\frac{1}{2}\{ e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}\}$
　　　　　　 $=\frac{1}{2}\{ e^{ix-y}+e^{-ix+y}\}$
　　　　　　 $=\frac{1}{2}\{ e^{-y}(\cos x+i\sin x)+e^y(\cos x-i\sin x) \}$
　　　　　　 $=\frac{1}{2}(e^y+e^{-y})\cos x-\frac{i}{2}(e^y-e^{-y})\sin x$
　　　　　　 $=\cosh y \cos x-i\sinh y \sin x$
である。まったく同様に
　　　 $\sin z=\cosh y\sin x+i\sinh y\cos x$
となる。これらは、複素数の三角関数が、実部・虚部ともに x 方向には周期的に変化するが、y 方向には周期的ではないことを示している。

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