双線形形式を表す行列 - オベリスク備忘録

双線形形式を表す行列を考えよう。
Ｃ＝(c_ij) を体Ｋにおける n×n 行列とする。このＣに、次のような双線形写像Ｋⁿ×Ｋⁿ→Ｋⁿを対応させることができる。すなわち、Ｋⁿの列ベクトルをＸ,Ｙとするとき、^tＸ＝(x₁,…,x_n), ^tＹ＝(y₁,…,y_n) を２つのベクトルとすると、これらに1×1行列 ^tＸＣＹ（これをＫの元と見倣す）を対応させるのである。すなわち、写像
　　　 $(X,Y)\mapsto {^tXCY}$
を考えると、これは行列の計算手順より、明らかに双線形写像となる。この写像は、例えば
　　　 $^tXCY=\sum_{i,j=1}^n x_i c_{ij} y_j=\sum_{i,j=1}^n c_{ij}x_i y_j$
と書くことができる。
　行列Ｃに対応するＫⁿ上の双線形写像を、g(Ｃ) と書く。すると、明らかに g(Ｃ+Ｃ')=g(Ｃ)+g(Ｃ') であり、また b∈Ｋに関し、g(bＣ)=bg(Ｃ) となる。このことは、写像 $C \mapsto g(C)$ が、Ｋの n×n 行列のベクトル空間からＫⁿの双線形形式の空間への、線形写像であることを示している。
　双線形写像 g(Ｃ) は、Ｃが零行列のときに限って零写像である。このことより、g(Ｃ)=g(Ｃ') ならば、Ｃ=Ｃ' となる。

∨を体Ｋ上のベクトル空間とし、双線形写像 g:∨×∨→Ｋを考える。∨の基底を {v₁,…,v_n} とすると、∨の元 v,w をこの基底によって
　　　v=x₁v₁＋…＋x_nv_n
　　　w=y₁v₁＋…＋y_nv_n
と書くことができる。したがって、g の双線形（参照）より
　　　 $g(v,w)=\sum_{i,j=1}^{n}x_i y_j g(v_i, v_j)$
だから、 ${\color{Blue} c_{ij}\equiv g(v_i,v_j)}$ と置くと、これは上のような行列Ｃであり、
　　　 $g(v,w)=\sum_{i,j=1}^{n}c_{ij}x_i y_j$
と書き直せる。
　順序が逆になるが、形式 g は対称であると仮定しよう。基底 {v₁,…,v_n} が直交基底ならば、 $g(v_i,v_j)=0\ \ (i\neq j)$ であるから、行列 (c_ij) は対角行列
　　　　　 $\begin{pmatrix}c_1 &0 &\cdots &0 \\ 0 & c_2 &\cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &0 &\cdots & c_n \end{pmatrix}$
の形になる。このとき、この双線形形式は「対角化された」という。この場合、スカラー積はより簡単に
　　　 $g(v,w)=c_1 x_1 y_1+\cdots+c_n x_n y_n$
と書ける。さらに基底が正規直交基底（すなわち $g(v_i,v_i)=1$ ）ならば、
　　　 $g(v,w)=x_1 y_1+\cdots+x_n y_n$
は単なるドット積となる。

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