双対基底

（定理）∨を体Ｋ上の有限次元ベクトル空間とする。このとき、双対空間∨^*もまた有限次元であり、dim ∨＝dim ∨^*である。
（証明）∨の基底を {v₁,…,v_n} とする。このとき、∨^*の元をφとし、<φ,v>＝φ(v) と書くとすると、各 i＝1,…,n に対して
　　　
となるような汎関数 v_i^* が存在する（※注）。このとき、{v₁^*,…,v_n^*} が∨^*の基底となることを示そう。これは、 {v₁,…,v_n} の双対基底と呼ばれる。
　φ∈∨^*とし、c_i=<φ,v_i> と置くと、各 i に関して
　　　< c₁v₁^*+…+c_nv_n^*,v_i >＝c_i< v_i^*,v_i >＝c_i　　　（★）
だから、<φ,v_i>＝c_i と比較すると、φと c₁v₁^*+…+c_nv_n^* は基底元 v_i を同じ写像先 c_i に写すことになる。よってそれらは∨の任意の元 v＝a₁v₁+…+a_nv_n（a_i∈Ｋ）も同じ写像先 a₁c₁+…+a_nc_n に写すことになるから、
　　　φ＝c₁v₁^*+…+c_nv_n^*
となる。
　さらに、
　　　　c₁v₁^*+…+c_nv_n^*＝0
であるとすれば、（★）のようにして、すべての i に関して 0＝c_i となる（一次独立）。よって {v₁^*,…,v_n^*} は∨^*の基底となる。証明終。

※注　『ラング線形代数学(上) (ちくま学芸文庫)』p.118。

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