汎関数の表現

（定理）∨は体Ｋ上の有限次元ベクトル空間であり、退化していないスカラー積 （※注）をもっているとする。このとき、汎関数Ｌ：∨→Ｋが与えられたとすると、すべての w∈∨ に対して
　　　Ｌ(w)＝＜v,w＞
となる、ただ一つの元 v∈∨が存在する。
（証明）ある v∈∨に関して、Ｌ[v]という形をしている∨上のすべての汎関数の集合を考える。零汎関数はこの形であり、また汎関数は線形だからすなわち
　　　Ｌ[v₁]+Ｌ[v₂]＝Ｌ[v₁+v₂], Ｌ[cv]＝cＬ[v]　　(c∈Ｋ)
となるので、この集合は双対空間∨^*の部分空間である。さらに、∨の基底を {v₁,…,v_n} とすると、Ｌ[v₁],…,Ｌ[v_n]は一次独立である（★）。したがって、Ｌ[v]の形の汎関数の集合は∨^*と同じ次元だから、∨^*に等しい。証明終。
　このような退化していないスカラー積に関して、上のような v∈∨は、汎関数Ｌを表現するという。

（★）を証明しよう。x_i∈Ｋとすると、もし
　　　x₁Ｌ[v₁]+…+x_nＬ[v_n]＝0
ならば、すべての w∈∨に対して
　　　（左辺）＝Ｌ[x₁v₁]+…+Ｌ[x_nv_n]＝Ｌ[x₁v₁+…+x_nv_n]
　　　　　　　＝< x₁v₁+…+x_nv_n, w >＝0
となるが、スカラー積が退化していないことより、x₁v₁+…+x_nv_n＝0 が言える。よって、{v₁,…,v_n} は基底であるから、x₁＝…＝x_n＝0。証明終。

※注　 は、ここでは∨上のスカラー積であって、双対空間の元φによってつくられる <φ,v> とはちがうので注意。また、「退化していない」スカラー積とは、「v∈∨のとき、すべての w∈∨に対して ＝0 ならば、v=Ｏである」というようなもの。

（例）ベクトル空間∨＝Ｋⁿを考える。これは普通のドット積（内積）Ｘ・Ｙ＝x₁y₁+…+x_ny_n をもち、これは退化していない。このとき上の定理より、φ：∨→Ｋが線形写像なら、すべてのＷ∈Ｋⁿに対してφ(Ｗ)＝Ａ・Ｗであるただ一つのベクトルＡ∈Ｋⁿが存在する。これは、汎関数φをベクトルＡで表現していることに他ならない。
　また、∨を n 次元ユークリッド空間とし、f：∨→Ｒを微分可能な関数だとする。∨上には普通のドット積（内積）を考えることができる。Ｘ∈∨における f の微分を、線形写像 d：∨→Ｒと定義するならば、このドット積に関して汎関数Ｌを表現するベクトルを、Ｘにおける f の勾配といい、これを（grad f)(Ｘ）乃至 ∇f(Ｘ）と書く。このとき、すべてのＷ∈∨に関して
　　　　d(Ｗ)＝∇f(Ｘ)・Ｗ
となるわけである。

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