∨を体Ｋ上のベクトル空間として、∨からＫ（これを、それ自身の上への１次元ベクトル空間と見倣す）の中へのすべての線形写像の集合を、∨*と書く。線形写像同士を加えたり、それにスカラーを掛けたりして、∨*もＫの上のベクトル空間になり、これを双対空間という。∨*の元を（∨の上の）汎関数と呼ぶ。
φを∨*の元、v を∨の元とする。ここで、φ(v) を記号 <φ,v> と書くと便利である。このとき、φ1,φ2∈∨*、c∈Ｋ、v1, v2∈∨ならば、
（１） <φ1+φ2,v>＝<φ1,v>+<φ2,v>
（２） <φ,v1+v2>＝<φ, v1>+<φ, v2>
<φ,cv>＝c<φ,v>
が成り立つ。
