『複素関数入門』メモ（２） - オベリスク備忘録

神保道夫『複素関数入門』の問題を解きます。
第１章問４

次の数の極形式を求めよ。
$(1)\ \ (1-i\sqrt{3})/2\ \ \ \ (2)\ \ (2+2i)^3\ \ \ \ (3)\ \ (1+i)^n+(1-i)^n$

　 $(1)\ \ \ \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{-\pi i/3}$
　 $(2)\ \ \ 8\cdot2\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)^3=16\sqrt{2}e^{3\pi i/4}$
　 $(3)\ \ \ 2^{n/2}\left ( \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \right )^n+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \right )^n$
　　　　 $=2^{n/2}(e^{\pi i/4})^n+2^{n/2}(e^{-\pi i/4})^n=2^{n/2}(e^{\pi ni/4}+e^{-\pi ni/4})$
　　　　 $=2^{n/2}\left ( \cos\frac{\pi }{4}n+i\sin\frac{\pi }{4}n+\cos\frac{\pi }{4}n-i\sin\frac{\pi }{4}n \right )$
　　　　 $=2^{(n+2)/2}\cos\frac{\pi }{4}n$
※注記　(3)の答は実数になるのである。