次の関数 g(x) の微分を x>0 で考える。
これはそう簡単ではなさそうだ。まず、
なる関数の微分を考えないといけないだろう。これより
すなわち
であるから、両辺を x で微分して
すなわち
が一般的な形になるだろう。
ここで最初の f(x) = 1/x を代入する。
が得られる。
極値は簡単に求められる。y' = 0 より log x = 1。すなわち x = e = 2.718…。
gnuplot でグラフを描いてみた。0 < x ≦ 10 の範囲。
0 < x ≦ 100 の範囲。
だいたい x = 2.5 のあたりにピークがある。これは正確には x = e だから、確かに正しい。
1次導関数のグラフ。
0 になるあたりは微妙。2.5くらいにも見える。
2次導関数を求めてみる。詳しい計算は省くが、答えは
となる。グラフはこんな感じ。
こうしてみると、g(x) の グラフの変曲点はほぼ x = 0.6 あたりだとわかる。変曲点はもうひとつありそうだが、このグラフから読み取るのはちょっとむずかしい。
Ruby による数値計算（参照）によれば、変曲点は x = 0.581932705608592 と x = 4.367770967056018 あたりと（近似的に）求められる。
