（定義）群Ｇが集合Ｍの上に働くとは、Ｇの各元 g に対してＭからＭへの写像（変換）
が決って、次の性質を満たしていることである。
（１）g1( g2(x) ) = g1 g2(x) （x∈Ｍ, g∈Ｇ）
（２）Ｇの単位元 e に関して e(x) = x （x∈Ｍ）
g g-1 = g-1 g = e だから、（１）と（２）より
g( g-1(x) ) = g-1( g(x) ) = x （x∈Ｍ）
が成り立つ。g( g-1(x) ) = x は、（右辺の x がＭの任意の点でよいから）g がＭからＭへの上への写像であることを示しており、また g-1( g(x) ) = x は、（x ≠ x' のとき g(x) ≠ g(x')より）、g がＭからＭへの一対一写像であることを示している。
なお、g の働きを g(x) と書くのは紛らわしい場合があるので、そのときは、g に対応する変換を と書き、これによって点 x が移される先を
と表す。
例えば、整数全体のつくる加群 は、実数全体のつくる集合
に
として働く。
