2013-11-07

軌道

群論

群Ｇは集合Ｍの上に働いているとする。このとき、Ｍの任意の点x に関し、
　　　 $G(x)=\left \{ g(x)\ |\ g\in G \right \}$
と置き、Ｇ(x) を、点x のＧによる「軌道（またはＧ‐軌道）」という。もちろん g(x)∈Ｍ, Ｇ(x)⊂Ｍである。

2013-11-02

有限群から対称群への準同型写像（群の表現）

群論

位数 n の有限群Ｇから、n 次の対称群 $S_n$ への準同型写像 $\Phi$ が存在する。この準同型写像 $\Phi$ は、Ｇの左からの働き $\phi_g\ \ (g\in G)$ によって引き起こされる。同様に、Ｇ自身の上への、右側からの働き $\psi_g$ や、両側からの働き $\lambda_g$ によっても、Ｇから $S_n$ への準同型写像が得られる。かかる準同型写像を、Ｇから $S_n$ への「表現」などという。準同型写像が一対一（単射）なら、それは「忠実な表現」であると言われる。

2013-11-02

準同型写像

群論

（定義）群Ｇから群Ｇ'への対応 $\Phi$ があって、
　　　 $\Phi(\tilde{g}g) =\Phi(\tilde{g})\Phi(g)\ \ \ \ (g,\tilde{g}\in G)$
が成り立つとき、 $\Phi$ をＧからＧ'への「準同型写像」という。

2013-10-31

群の働き

群論

（定義）群Ｇが集合Ｍの上に働くとは、Ｇの各元 g に対してＭからＭへの写像（変換）
　　　 $x\ \rightarrow \ g(x)\ \ \ \ (x\in M,\ g\in G)$
が決って、次の性質を満たしていることである。
（１）g₁( g₂(x) ) = g₁ g₂(x)　　（x∈Ｍ, g∈Ｇ）
（２）Ｇの単位元 e に関して e(x) = x　　（x∈Ｍ）