4次元空間内における2直線の最短距離

与えられた2直線の間の距離について(主に3次元以上の場合) - オベリスク備忘録(跡地)
という理系記事がこのブログにはあって、この過疎ブログの記事の中ではかなりアクセスがあるのであるが、そのコメント欄に id:mathnb さんが問題を書き込まれた。いちおう解けたので、ここに載せておこうと思う。
問題は、パラメータ表示の(4次元空間内の)2直線 (1 + 2 * s, s, -3 * s, 28 + s) と (0, -t, t, 6 + t) の最短距離を与える 2点の座標を求めよということでいいと思う。以下解法である。


まずは、上の記事の手順どおりにやってみよう。
  
  
とおけるので、記事どおりやると
  
  
であることより、
  
と求めるパラメータが出るので(この s, t は問題に与えてあるそれらとはちがい、その定数倍になっている)、これより直線上の(最短距離を与える)2点は
  
と与えられた。


別の解き方でやってみよう。2点間の距離を f(s, t) として、f の最小値を与える s, t を決定し(これは問題に与えてある s, t であり、上の解法内の s, t とは別物である)、そこから 2点を求めればよい。もちろん
  
       
なので、括弧内が 0であることより、求めるべきは s = -23/6, t = 67/6 となって、これを代入すると上と同じ 2点 S, T が得られる。また、これより直線間の最短距離が
  
と簡単に求められる。
あるいは、
  
として
  
  
という連立方程式を解いても、この s, t が得られる。これがいちばん簡単かも知れない。


以上からわかるように、2直線間の最短距離を与える 2点を求める仕方は、基本的に何次元でも変わりがない。