岩波講座基礎数学「集合と位相１」第１章

岩波講座「基礎数学」を適当に読み散らしている。「集合と位相１」の第１章を読んだので、感想をば。
　集合と論理学がごたまぜになっている印象だ。目的は自然数の構成のようで、それに必要な道具を揃えているという感じである。さて、命題(1.1)（p.12）であるが、いきなりであってわかりにくいけれども、これがキーストーンになっている。すなわち、任意の命題Ｐ、Ｑに関して
　　　
なのであるが、これ、わかるだろうか（ちなみに記号¬は「否定」、記号∨は「または」の意味）。まず必要性を示そう。Ｐが成り立つとすれば、Ｐ⇒ＱよりＱも成り立つので、¬Ｐ∨Ｑも成り立つ。また、Ｐが成り立たなければ、排中律より¬Ｐが成り立つので、これも¬Ｐ∨Ｑが成り立つ。これで必要性は云えた。次に十分性であるが、Ｐが成り立つとき、排中律より¬Ｐが成り立つことはないので、¬Ｐ∨ＱからＱが成り立つことが云える。すなわちＰ⇒Ｑが成立し、十分性も云えた。証明終。
　これ、何の役に立つのかと思われるかも知れないが、かなり重要である。例えば、ある命題が成り立つとき、その「対偶」命題も成り立つが、このことが証明できる。すなわち、Ｐ⇒Ｑは、上の命題(1.1)より¬Ｐ∨Ｑと同値であるが、交換律などにより、これは¬Ｐ∨Ｑ ⇔ Ｑ∨¬Ｐ ⇔ ¬¬Ｑ∨¬Ｐとなり、さらにもう一度命題(1.1)より、これは¬Ｑ⇒¬Ｐと同値。すなわち
　　　
となって、確かに命題と対偶命題は同値となるのだ。
　また、帰謬法が、
　　　Ｐ⇒Ｑ∧¬Ｑが成り立てば¬Ｐが成り立つ
と書けるのもおもしろい。Ｐ⇒Ｑ∧¬Ｑの対偶を取ると¬（Ｑ∧¬Ｑ）⇒¬Ｐとなるが、¬（Ｑ∧¬Ｑ）⇔ ¬Ｑ∨¬¬Ｑ ⇔ ¬Ｑ∨Ｑであり（途中でド・モルガンの法則を使った）、排中律によって¬Ｑ∨Ｑは成立するから、¬Ｐは云えることになる。

　このあとは自然数の構成になるのだが、自分はこういうのは面倒なだけのような気もする。これは、集合 a に対し、集合 a∪{a} を a の「後継ぎ」と呼んで、a⁺ と表すところが肝になっている。これに関し、空集合から始めてペアノの公理を使うのである。その過程で、集合の合併や共通部分まで論理的に構成しているが、直感的に理解していることに付け加えるところはない（※注意）。
　自然数の構成に関し、「無限系譜」「無限樹」という概念を使うのは、これはよく使われる仕方なのか、自分は知らない。個人的には初めて見た。集合 x が無限系譜であるとは、
　　　
ということ。この（x が無限系譜であるという）命題をＭ(x)と書くと、集合 a（空集合ではない）が無限樹であるとは、
　　　
ということ。

　後の方をぺらぺら見ていると、面倒くさそうな本だなあと思う。適当に目を通してお仕舞いにしそうだ。

※注意　普通の意味での「共通部分」は取り立てて問題ないが、不思議な定義がある（p.22）。a を集合の集合として、b∈a に関し、
　　　
と置いて、これを a の元の「共通部分」といい、∩a と書くのである。これは、
　　　
が成り立つことより、もし c∈a ならば なので、すなわち集合 a の元 b の取り方によらない。特に a={b,c} ならば、a の元の共通部分は b∩c となる。また、a（空集合ではない）の任意の元 y に対し、∩a ⊂ y となる。
　これは何となく奇妙な定義に思われるかも知れないが、定義どおりに操作すると、a の元たち（これらも集合である）の極普通の共通部分を与える。命題を言葉で書けば、 は、b の元で a のすべての元（これも集合である）に含まれる元の全体（から成る b の部分集合）である。具体例を挙げれば、a={m,n,b}, m={0,1,2}, n={1,2,3}, b={1,2,3,4} とすれば、∩a={1,2} である。これは b の代わりに m,n を取ってやっても変わらない。普通に共通部分を与えるのである。

　ついでだから、補題1.1も示しておこう。a,b を無限樹とする。
（１）∩a は無限系譜である。
　なぜなら、まず、 より、a のどの元も空集合を含むから、 である。また、命題 を命題Ｐ(x)とすると、x の任意の元 y についてＰ(x) が成り立つのだから、x⊃∩a より、∩a の任意の元 y についてもＰ(∩a) が成り立つ。証明終。
（２）a⊂b ならば ∩a ⊃ ∩b。
　なぜなら、b=a∪c（ただし a∩c は空集合）と置けるので、∩b＝(∩a)∩(∩c) ⊂ ∩a。証明終。

集合と位相 (岩波基礎数学選書)