複素数の指数関数 - オベリスク備忘録

『複素関数を学ぶ人のために』からメモ。
複素数 z の指数関数は、次のように冪級数で定義する。
　　　 $e^z\equiv \sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}$
右辺の冪級数は、（無限遠点を除いた）複素平面全体で絶対収束する。
複素数でも指数法則が成り立つか、示してみる。任意の複素数を u, v とすると、
　　　 $e^{u+v}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u+v)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{r=0}^{n}\frac{n!}{r!(n-r)!}u^r v^{n-r}$
　　　　　　 $=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{r=0}^{n}\frac{u^r v^{n-r}}{r!(n-r)!}=\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{n=r}^{\infty}\frac{u^r v^{n-r}}{r!(n-r)!}$
　　　　　　 $=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{u^r}{r!}\sum_{n=r}^{\infty}\frac{v^{n-r}}{r!(n-r)!}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{u^r}{r!}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{v^m}{m!}\ \ \ (m\equiv n-r)$
　　　　　　 $=e^u e^v$
で、確かに成り立つ。１行目は、二項定理による展開である。２行目の総和の変形はわかるだろうか。

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