確率と漸化式に関する一問題

[問題]　ＡとＢ二人が、それぞれコインを投げて表裏を決める試行を繰り返し、どちらかの表が出た数が、他方の表の出た数より２大きくなったところで止める。（表裏の出る確率は、それぞれ1/2だとする。）ｎ回目の試行で終了する確率を $a_n$ 、ｎ回目で一方の表の出た数が他方の出た数と１ちがう確率を $b_n$ 、ｎ回目で一方の表の出た数が他方の出た数と同じ（０回も含む）確率を $c_n$ とおくとき、それらすべてを求めよ。

[答え]　まず、
　　　 $a_1=0,\ \ b_1=1/2,\ \ c_1=1/2$
である。また、漸化式
　　　 $a_{n+1}=\frac{1}{4}b_n$
　　　 $b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{1}{2}c_n$
　　　 $c_{n+1}=\frac{1}{4}b_n+\frac{1}{2}c_n$
が成り立つ。これらより、
　　　 $8b_{n+2}-8b_{n+1}+b_n=0$
だから、これを解くと
　　　 $b_n=\frac{1}{\sqrt 2}\left\{\left(\frac{2+\sqrt 2}{4}\right)^n-\left(\frac{2-\sqrt 2}{4}\right)^n\right\}$
したがって、 $c_n=2b_{n+1}-b_n$ などより
　　　 $c_n=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{2+\sqrt 2}{4}\right)^n+\left(\frac{2-\sqrt 2}{4}\right)^n\right\}$
　　　 $a_n=\frac{\sqrt 2}{8}\left\{\left(\frac{2+\sqrt 2}{4}\right)^{n-1}-\left(\frac{2-\sqrt 2}{4}\right)^{n-1}\right\}$
となる。（正解かどうかは保証のかぎりでないです。）

[追記]
　　　 $8b_{n+2}-8b_{n+1}+b_n=0$
の解き方。特性方程式
　　　 $8x^2-8x+1=0$
の解は
　　　 $x=\frac{2\pm\sqrt 2}{4}$
だから、漸化式を変形すると、
　　　 $b_{n+2}-\frac{2+\sqrt 2}{4}b_{n+1}=\frac{2-\sqrt 2}{4}\left(b_{n+1}-\frac{2+\sqrt 2}{4}b_n\right)$
となる。よって、 $b_1=1/2,\ b_2=1/2$ に注意して、
　　　 $b_{n+1}-\frac{2+\sqrt 2}{4}b_n=\frac 1 2\left(\frac{2-\sqrt 2}{4}\right)^n$
まったく同様に
　　　 $b_{n+1}-\frac{2-\sqrt 2}{4}b_n=\frac 1 2\left(\frac{2+\sqrt 2}{4}\right)^n$
だから、これらから $b_{n+1}$ を消去すれば上の式が出てくる。