射影直線 - オベリスク備忘録

2次元複素空間 $\mathbb{C}^2$ で、点(0, 0) 以外の点を (l, m) と置くとき、その比 l : m を考えてこれを一点と思い、(l : m) と書く。これの全体を ${\color{Blue} \mathbf{P}^1(\mathbb{C})}$ と記して複素射影直線（1次元複素射影空間）と呼ぶ。
定義より、0 でない複素数 a を取ると、比だけが問題なので (l : m) = (al : am) が成り立つ。つまりはこの二つは同じ点を表す。この (l : m) を $\mathbf{P}^1(\mathbb{C})$ の斉次座標と呼ぶ。
ここで複素射影直線の部分集合
　　 ${\color{Blue}U_0}=\left \{ (l, m)\in \mathbf{P}^1(\mathbb{C}) | l\neq 0 \right \}$
を考えると、写像
　　 $\varphi_0:U_0\ni (l:m) \mapsto \frac{m}{l}\in \mathbb{C}$
　　 $\varphi_0^{-1}:\mathbb{C}\ni a \mapsto (1:a)\in U_0$
によって $U_0$ と $\mathbb{C}$ を同一視できる。リーマン球面の実軸と無限遠点を合わせたものが、じつは実射影直線 $\mathbf{P}^1(\mathbb{R})$ に対応する。そして、明らかに
　　 $\mathbf{P}^1(\mathbb{C})=U_0 \cup \left\{(0:1) \right\}$
であるが、 $l\to\infty$ より点 (0 : 1) はリーマン球面の無限遠点に相当するので、 $\mathbf{P}^1(\mathbb{C})$ とリーマン球面も同一視してよいことがわかる。

ここで、写像
　　 $f:{\color{Blue} (l : m)\mapsto (a_{00}l+a_{01}m : a_{10}l+a_{11}m) }$
を考える。(0 : 0) という点はないので、この写像が意味をもつには
　　 $\begin{vmatrix}a_{00} & a_{01}\\ a_{10} & a_{11}\end{vmatrix}\neq 0$
であることが必要十分条件である。このとき、z = m / l とおくと
　　 $(l:m)=(1:z)\mapsto (a_{00}l+a_{01}m : a_{10}l+a_{11}m)$
　　　　　　 $=\left ( 1:\frac{a_{11}z+a_{10}}{a_{01}z+a_{00}} \right )$
となるから、写像f は 1次分数変換に他ならない。この $\mathbf{P}^1(\mathbb{C})$ から $\mathbf{P}^1(\mathbb{C})$ への写像f を、射影変換と呼ぶ。これは明らかに行列
　　 $A=\begin{pmatrix}a_{00} &a_{01} \\ a_{10} &a_{11} \end{pmatrix}$
を使って表すことができる。

代数幾何入門

作者:上野健爾
岩波書店

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