三角形の内接円の内接三角形の面積

mathnb(abagbbg5)さんが、お前にはむずかしい問題は無理だろう、易問を出してやるから元気を出せということで(あろう)、出題されましたので、まあやってみましょう。
(問題)三角形ABC の内接円を考えるとき、辺BC, CA, AB と円の接点をそれぞれ P, Q, R とすれば、三角形PQR の面積はどうなるか。ただし、∠A = 90°, BP = 6, CP = 4 とする。

(解法)AQ = r とおくと三平方の定理ピタゴラスの定理)より
  
であるから、r > 0 より r = 2。また、∠A = 90°より明らかに sin∠B = 6/10 = 3/5, sin∠C = 8/10 = 4/5 だから、
  
  
となる。よって
  
    
が答え。

mathnb(abagbbg5)さんの指定された方法で解くと、上の解法と同様に AQ = 2 であるから、直線の方程式は x/6 + y/8 = 1、内接円の方程式は
  
となって、それらの接点である点P は P(18/5, 16/5) と求められる。ゆえに △BPR = (1/2)・6・(18/5) = 54/5, △CPQ = (1/2)・2・(16/5) = 32/5。あとは上と同じ。

mathnb さんが双対曲線にこだわっておられるので、近日英語サイトででも勉強してみましょう。僕はたぶんそれに関してはいい本をもっていないのだよね。それか、もっていても、どこにあるかわからない。
内接円の格子点はトリビアルな(?)4つしかないですよね。つまり、(0, 2), (2, 0), (4, 2), (2, 4) の 4つ。
おお、リンクされてある上野先生の『代数幾何入門』は県図書館にあるようだから、ちょうど明日行くのでそのときに探してみましょう。

代数幾何入門

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