mathnb（abagbbg5）さんが、お前にはむずかしい問題は無理だろう、易問を出してやるから元気を出せということで（あろう）、出題されましたので、まあやってみましょう。
（問題）三角形ABC の内接円を考えるとき、辺BC, CA, AB と円の接点をそれぞれ P, Q, R とすれば、三角形PQR の面積はどうなるか。ただし、∠A = 90°, BP = 6, CP = 4 とする。
（解法）AQ = r とおくと三平方の定理（ピタゴラスの定理）より
であるから、r > 0 より r = 2。また、∠A = 90°より明らかに sin∠B = 6/10 = 3/5, sin∠C = 8/10 = 4/5 だから、
となる。よって
が答え。
mathnb（abagbbg5）さんの指定された方法で解くと、上の解法と同様に AQ = 2 であるから、直線の方程式は x/6 + y/8 = 1、内接円の方程式は
となって、それらの接点である点P は P(18/5, 16/5) と求められる。ゆえに △BPR = (1/2)・6・(18/5) = 54/5, △CPQ = (1/2)・2・(16/5) = 32/5。あとは上と同じ。
mathnb さんが双対曲線にこだわっておられるので、近日英語サイトででも勉強してみましょう。僕はたぶんそれに関してはいい本をもっていないのだよね。それか、もっていても、どこにあるかわからない。
内接円の格子点はトリビアルな（？）4つしかないですよね。つまり、(0, 2), (2, 0), (4, 2), (2, 4) の 4つ。
おお、リンクされてある上野先生の『代数幾何入門』は県図書館にあるようだから、ちょうど明日行くのでそのときに探してみましょう。
