双対曲線の双対曲線

mathnb さんの出題によりここで y = x / (x + 5) の双対曲線を
  
と求めましたが、さらにこれの双対曲線を求めよと矢のような催促なので、とりあえずやってみました。mathnb さんが「郵便配達は二度ベルを鳴らす」と仰るとおり、それによって最初の式が得られる筈です。
多少詳しくやってみましょう。まず、与えられた式を x = m/l, y = n/l として斉次座標で表す(射影幾何学にする)と
  
となります。これの grad を取ると
  
すなわち
  
なので、逆変換を求めると(面倒です)
  
が得られます。これらを最初の式に代入して l, m, n を消去すると(面倒です)、色いろきれいに消えたりして
  
が得られますから、x = M/L, y = N/L と置いて非斉次座標で表すと、いちばん大もとの y = x / (x + 5) が得られて、期待どおりになりました。

これでもかなり面倒なので、mathnb さんが大量に出題されているさらに複雑な多項式では、双対曲線を求めるというのはちょっとやる気がしないですね。そもそもこれは煩瑣ではあるが、決まりきった作業なのであまりおもしろくなさそうです。ただこれ、それこそ「機械的な」計算なので、工夫すればプログラミングで自動化できないことはないでしょうね。ただし、分数計算も含む多項式の変形をプログラミングしないといけないので、汎用的なものを作るのはちょっと大変そうです。Python のライブラリとかを使ってできないかな。
まてよ、次数が上がると自動化はさらに厄介なことになりそうだな…。逆変換がむずかしそう。
mathnb さんがここでやっておられるのは、上とはちがう解法ですね。どうもよくわからない感じ。でも、これならそれこそ自動化できそう。
もう少しきちんと射影幾何学を勉強しないといけないですね。