4つ(以上)の集合の和集合の要素の個数

ちょっと必要があって考えた。
集合Aの要素の個数をn(A)と書くことにすると、3つの集合の和集合の要素の個数の求め方はよく知られている。すなわち
  n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
である。
ではこの集合が4つになったらどうなるか。地道に考えた。まず、2つの場合の n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) は問題ないだろう。あと、
  n((A∪B)∩C) = n(A∩C) + n(B∩C) - n(A∩B∩C)
を確認しておく(ベン図で確かめてみて欲しい)。
やってみる。
  n(A∪B∪C∪D) = n(A∪B∪C) + n(D) - n((A∪B∪C)∩D)
    = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A)
     + n(A∩B∩C) - n((A∪B∪C)∩D)
ここで、E = A∪Bとおくと
   n((A∪B∪C)∩D) = n((E∪C)∩D)
    = n(E∩D) + n(C∩D) - n(E∩C∩D)
    = n((A∪B)∩D) + n(C∩D) - n((A∪B)∩C∩D)
    = n(A∩D) + n(B∩D) - n(A∩B∩D) + n(C∩D)
     - n(A∩C∩D) - n(B∩C∩D) + n(A∩B∩C∩D)
だから、結局
  n(A∪B∪C∪D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A∩B) - n(A∩C)
     - n(A∩D) - n(B∩C) - n(B∩D) - n(C∩D) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D)
     + n(A∩C∩D) + n(B∩C∩D) - n(A∩B∩C∩D)

と求められる。
こうなると、5つ以上の場合も予想できる。つまり、おそらくは
   n(A∪B∪C∪D∪E) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) + n(E) - n(A∩B)
     - n(A∩C) - n(A∩D) - n(A∩E) - n(B∩C) - n(B∩D) - n(B∩E)
     - n(C∩D) - n(C∩E) - n(D∩E) + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D)
     + n(A∩B∩E) + n(A∩C∩D) + n(A∩C∩E) + n(A∩D∩E)
     + n(B∩C∩D) + n(B∩C∩E) + n(B∩D∩E) + n(C∩D∩E)
     - n(A∩B∩C∩D) - n(A∩B∩C∩E) - n(A∩B∩D∩E) - n(A∩C∩D∩E)
     - n(B∩C∩D∩E) + n(A∩B∩C∩D∩E)
であろう。これ以上の場合も同様。