条件付き確率の一問題

[問題] 10 本中 3 本当たりのあるくじがある。このくじを 2 回、引いたくじを戻さずに引いたとき、2 回の中に当たりくじがあったとする。このとき、1 回目に引いたくじが当たりである確率を求めよ。

[解答例] 2 回の中に当たりくじがあるというのを A、1 回目のくじが当たりであるのを B とすると、求めるべきは A の条件の下で B が起きる条件付き確率 P_A(B) である。
まず、P(A) を出す。2 回の中に当たりくじがあるということは、(1) 当たり、はずれ (2) はずれ、当たり (3) 当たり、当たりのどれかであり、それらの確率をそれぞれ P₁(A), P₂(A), P₃(A) とすると、
　　　P₁(A) = (3/10)(7/9) = 7/30
　　　P₂(A) = (7/10)(3/9) = 7/30
　　　P₃(A) = (3/10)(2/9) = 1/15
となる。よって、
　　　P(A) = 7/30 + 7/30 + 1/15 = 8/15
となる。
次に、P(A∩B) を求める。A∩B というのは、2 回の中に当たりくじがあって、さらに1 回目のくじが当たりであるということだから、P₁(A) と P₃(A) の和に等しい。よって
　　　P(A∩B) = P₁(A) + P₃(A) = 7/30 + 1/15 = 3/10
となる。
以上より、条件付き確率の定義より、
　　　P_A(B) = P(A∩B) / P(A) = (3/10)(15/8) = 9/16
が答えとなる。