ヤコビの恒等式

交換関係 [A,B] = AB - BA を定めるとき、
　　[A, [B,C] ] + [B, [C,A] ] + [C, [A,B] ] = 0
が成り立つ。これをヤコビ（Jacobi）の恒等式という。
（証明）まず、
　　[A, [B,C] ] = [A, BC - CB] = ( ABC - ACB ) - ( BCA - CBA)
　　　　　　　= ABC + CBA - ACB - BCA
だから、
　　[B, [C,A] ] = BCA + ACB - BAC - CAB
　　[C, [A,B] ] = CAB + BAC - CBA - ABC
となる。よって、求めるべき式はこれらの和であり、
　　（左辺）= ( ABC + CBA + BCA + ACB + CAB + BAC )
　　　　　　 - ( ACB + BCA + BAC + CAB + CBA + ABC ) = 0
とすべて打ち消し合って、証明終。