シュレーディンガー方程式 - オベリスク備忘録

ここでは空間座標は x のみの一次元で考える（三次元などに拡張しても同様）。振動数ν、波長λで x 軸の正の方向へ伝播する波は、
　　　 $\psi _\lambda =e^{2\pi i(x/\lambda -\nu t)}$
と書ける。
ここで、ψに天下り式に、次の演算子を作用させてやる。すると、
　　　 $-i\hbar\frac{\partial \psi _\lambda }{\partial x}=-i\hbar \frac{2\pi i}{\lambda }\psi _\lambda=\frac{h}{\lambda }\psi _\lambda=p\psi _\lambda$
　　　 $i\hbar\frac{\partial \psi _\lambda }{\partial t}=i\hbar (-2\pi i\nu )\psi _\lambda=h\nu \psi _\lambda=E\psi _\lambda$
となる（参照）ので、対応
　　　 $p\to -i\hbar\frac{\partial }{\partial x},\ \ \ E\to i\hbar\frac{\partial }{\partial t}$
を付けてやることができる。
　さて、古典的な場合、
　　　 $E=H=\frac{1}{2m}p^2+V(x)$
であるから、上の対応より、
　　　 ${\color{Blue} i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=\left ( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+V(x) \right )\psi (x,t)}$
を得る。これが（一次元の場合の）シュレーディンガー方程式である。 ${\color{Blue}\psi (x,t)}$ は「波動関数」と呼ばれる。なお、ここでは古典力学とはちがい、x は t の関数でないことに注意。

※注意
複素共役を * で表すと、 $\psi^*(x,t)$ について上の p,E の対応は、それぞれ符号が反対になる。しかし、シュレーディンガー方程式の右辺は、p は二乗されるため、結局符号はもとのままで変らない。よって左辺だけが符号が逆になるので、
　　　 $-i\hbar\frac{\partial }{\partial t}\psi^* (x,t)=\left ( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+V(x) \right )\psi^* (x,t)$
となる。

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