佐藤文隆『運動と力学』メモ - オベリスク備忘録

佐藤文隆『運動と力学』の極最初の部分のメモです。記述が最小限なので、蛇足しておきます。
§1.2のp.6。曲面
　　　 $f^1(X^1,X^2,X^3)=c$
の上にある曲線 $Y^a(t)$ を考えると、この曲線上の点の位置ベクトルは、 $\mathbf{E}_a$ を基底ベクトルとして
　　　 $\mathbf{Y}=(Y^1(t),Y^2(t),Y^3(t))=Y^a(t)\cdot \mathbf{E}_a$
と書ける。すると、曲線の接線ベクトルは
　　　 $\mathbf{v}=\frac{dY^a}{dt}\mathbf{E}_a=\dot{\mathbf{Y}}$
となる。曲面の式の両辺を微分して、
　　　 $\left ( \frac{\partial f^1}{\partial X^a} \right )_{X=Y(t)}\frac{dY^a}{dt}=(grad \ f^1)(t)\cdot\dot{\mathbf{Y}}=0$
であり、ここでこの曲面の法線ベクトルは
　　　 $\mathbf{n}=\frac{\partial f^1}{\partial X^a}\mathbf{E}^a=grad \ f^1$
と書ける。ただし $\mathbf{E}^a$ もまた基底ベクトルであり、
　　　 $\mathbf{E}^a\cdot\mathbf{E}_b=\delta _{b}^{a}$
の関係を満たす。これはすなわち
　　　 $\mathbf{E}^1\cdot\mathbf{E}_1=\mathbf{E}^2\cdot\mathbf{E}_2=\mathbf{E}^3\cdot\mathbf{E}_3=1$
　　　 $\mathbf{E}^1\cdot\mathbf{E}_2=\mathbf{E}^1\cdot\mathbf{E}_3=\mathbf{E}^2\cdot\mathbf{E}_1=\mathbf{E}^2\cdot\mathbf{E}_3=\mathbf{E}^3\cdot\mathbf{E}_1=\mathbf{E}^3\cdot\mathbf{E}_2=0$
のことである。
　すると、曲面の式の両辺を微分したものは、以下のように具体的に書ける。
　　　 $\frac{\partial f^1}{\partial X^1}\frac{dY^1}{dt}+\frac{\partial f^1}{\partial X^2}\frac{dY^2}{dt}+\frac{\partial f^1}{\partial X^3}\frac{dY^3}{dt}$
　　　　 $=\left ( \frac{\partial f^1}{\partial X^1},\frac{\partial f^1}{\partial X^2},\frac{\partial f^1}{\partial X^3} \right )\cdot\left ( \frac{\mathrm{dY^1} }{\mathrm{d} t},\frac{\mathrm{dY^2} }{\mathrm{d} t},\frac{\mathrm{dY^3} }{\mathrm{d} t} \right )$
　　　　 $=\frac{\partial f^1}{\partial X^a}\mathbf{E}^a\cdot \frac{\mathrm{dY}^b }{\mathrm{d} t}\mathbf{E}_b$
　　　　 $=\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0$
ゆえに、曲面の法線ベクトルと曲線の接線ベクトルは、直交することが云えた。