曲面の法線ベクトル

空間内の曲面は f(x,y,z)=0 と表されるが、曲面上の点 P(x,y,z) における曲面の法線ベクトルは、f(x,y,z) の勾配 grad f の点Pにおける値で表される。すなわち、曲面上の任意の曲線をパラメータ t を使って (x(t),y(t),z(t)) と表し、f(x,y,z) を t で微分すると、点Pでは
   
     
     
となる(r は点Pの位置ベクトル)。点Pを通る曲線は任意なので、grad f は曲面の法線ベクトルになる。(なお、df/dt は f(x,y,z) の t の向きの方向微分係数である。)

※安達忠次『ベクトルとテンソル』p.44, p.46を参考にした。

ベクトルとテンソル (新数学シリーズ (6))

ベクトルとテンソル (新数学シリーズ (6))