（有限）群と対称群 - オベリスク備忘録

遠山啓の『代数的構造』を読んでいたら、初歩なのだけれど、「位数nの群Gは n次の対称群 $S_n$ の部分群と同型である」（定理10、p.114）とあって、「ん？」と思った。本文を補足する。 $G=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ のとき、 $a_i{\in}G$ をとってGのすべての要素と群の演算を施してやると、出てきたn個のGの要素 $a_1a_i,\ a_2a_i,\dots,\ a_na_i$ は、Gのすべての要素を尽くしているわけである。すなわち
　　　 $G=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\rightarrow \{a_1a_i,\ a_2a_i,\dots,\ a_na_i\}\ \ (=G)$
は単射。（なぜなら、 $a_i{\neq}a_j$ とするとき、もし $x{\in}G$ について $a_ix=a_jx$ ならば、両辺に右からxの逆元を掛ければ $a_i=a_j$ となって矛盾。よって $a_ix{\neq}a_jx$ である。）こうすると、片方を固定した群の（すべての要素の）演算が、添字の置換を引き起こすと見ることができる。ここに、群（であれば何でもよい）の演算が対称群と関係をもってくる理由がある。
　それから、もっと初歩だが、任意の $a_i{\in}G$ をとるとき、Gの演算を適当になして、 $a_i$ を必ず作ることができる。なぜなら、 $a_ix=y$ （ただし $x,y{\in}G$ ）となるx, yは必ず存在するから、式に（上と同じように）右からxの逆元を掛けてやればいい。
　これらは普通の教科書に普通に書いてあることなのか知らない。当り前すぎるのかもしれない。