ポータル・サイトの質問箱に、3次元（以上）の場合の「2直線間の（最短）距離」を聞いたものがしばしばあるので、前から気になっていた。3次元というのは、2次元ではこの問題は自明（交わるか平行しかない）だからで、3次元の場合は一般に、2直線はねじれているから、解はさほど自明ではない。これについて考えてみた。
まず、2直線だが、パラメーター表示で考察する。2直線をそれぞれ m、n とし、m、n のパラメーターをそれぞれ s、t とおく。方向ベクトルはそれぞれであり、それぞれ定点A、Bを通るとする。ただし、
とおいて充分なので、計算の簡単のため、こうしておく。最短距離を与える m、n 上の点をそれぞれS、Tとすると、
となるので、2直線間の最短距離STはとして求められる。結局、点S、Tが確定するには、パラメーター s、t を決定すればよい。
さて、最短距離を与えるには、幾何学的考察（※注意）より、ベクトル
がそれぞれ方向ベクトルと直交すればよいので、（方向ベクトルの長さ1に注意して）
となる。この2式は s、t についての連立方程式なので、簡単に解けて
。
こうしてパラメーターが確定するので、点S、Tも確定する。これから点S、Tの距離（2直線の最短距離）も求められる。
この距離も実際に求めたいところであるが、上のSTの式にパラメーターの値（を表す式）を代入しても、一般的にはどうもきれいな形にならないようだ（求めることは勿論できる）。
なお、2直線が平行な場合はトリビアルである。として充分なので、s、t は確定せず、
なので、
となる。これから距離STが出る。
※注意（追記）
幾何学的考察の詰めが甘いことに気づいた。二本の直線に共に直交するSTが存在するか、はたまた存在しないのかは、自明ではない（※後からの注記 実はやはり自明である。だから、ここまでの記述で充分である。下を参照）。存在する場合は、上の考察でよい。そうでない場合は、別途考察せねばならない。
上の補遺
直線のパラメーター表示については、上のものを使うことにする。
まず、点Ｔを固定（パラメーターtを固定）して、直線ｍとの距離を与える点Ｓの位置を決める。これは（点と直線の距離なので）かならず存在し、こちらを参照すると、そのような点Ｓを与えるパラメーターsは
と求められるから、
となる。したがっては
ただし、
と置いた。ゆえに、
は、原点Ｏから、パラメーターtによる直線上の点へのベクトルであるから、かならず最短になることがあり、そのようなtは
と与えられる。これをベクトルTSの式に代入し、そのベクトルの長さを計算すれば、一旦tを固定し、その後これを動かして得られた場合の、二直線間の最短距離を与える。
また、sを一旦固定し、その後これを動かした場合も、同様に二直線間の最短距離を与える。
したがって、真の最短距離は、このいずれか一方、値の小さい方になる。両者が一致すれば、それはいちばん最初に考察した場合に他ならない。
…かと思ったのだが。念のため、求めたpとqをtの式に代入し、（方向ベクトルが単位ベクトルであることに注意しながら）ごりごりと計算してみると、
となって、いちばん上で求めた結果と同じになるではないか。sもtと対称になっているので、これも疑いもなく一致する。ということは、二直線に共に垂直な線分STが、きちんと存在することになる。つまり、補遺は蛇足であった。
幾何学的考察を再度してみれば、二直線の二つの方向ベクトルによって張られる平面を考えると、それに平行な平面で、それぞれ二直線を含むような二平面をかならず取ることができる。この二平面の距離が、求める二直線の最短距離を与えることになるわけだ。
