環

集合 R に二種類の演算が定義されていて（和 a + b と積 ab とする）、次の四つの条件を満たすとき、R は環であるという。
(1) 和 a + b に関して可換群である。その単位元を 0 で表し、a の逆元を -a で表す。
(2) 積 ab に関し、結合法則 (ab)c = a(bc) を満たす。
(3) 積に関して単位元 1 をもつ。
(4) 和と積に関し、分配法則 a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ab + bc を満たす。
また、さらに
(5) 積に関して可換 ab = ba
ならば、R は可換環と呼ばれる。
例えば はふつうに定義される和と積に関して可換環である。