筑波大学医学専門学群、平成29年度推薦入試の問題から(らしい)

(問題)A(2, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1 ,2), D(4, -2, -8) のとき、3点A, B, C を含む平面を s とおく。平面 s に対して点 D と対称な点 E の座標を求めよ。

(回答)まず
  
より、これらのベクトル積を求めると
  
となることより、s: 1(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 だから、
  s: x + z = 2
と平面 s が求められる。直線DE 上の点はパラメータ表示で
  (x, y, z) = (4, -2, -8) + t(1, 0, 1) = (4 + t, -2, -8 + t)
と表せるから、平面 s の式に代入して解くと t = 3。よって求めるべき点E は
  E: (4, -2, -8) + 6(1, 0, 1) = (10, -2, -2)
と求められた。
これだけではわかりにくい人のために注しておけば、ベクトル積を出して得られた (1, 0, 1) は、平面 s の法線ベクトルであり、ゆえに直線DE の方向ベクトルになっている。点D から平面 s までの相対距離(距離ではないのでこう呼んでおく)が 3 であるから、点D から点E までの相対距離は 6 となる。