定点を通る球の接平面

昨晩は寝る前に id:mathnb さんの与えた問題を考えていた(参照)。点 A(-5, 10, 2) を通り、球
  
に接する平面の方程式を17個求めよというものである。特にむずかしい問題ではないのだが、17個というのが面倒だ。とりあえず、球上の点 (l, m, n) で球に接するとすると、
  
であり、その平面の方程式は
  
であるから、これが点A を通ることと式(1) から、
  
が得られる。式(1), (2) を満たす (l, m ,n) の組を17セット求めればいいわけである。ああ、言い忘れていたが、求めるべき平面の方程式は (l, m, n) の組を上の平面の方程式に代入したものであることは言うまでもない。
はっきり言って17個は面倒ですね。とりあえず 1つは求めてみた。n = 0 として
  
あとは面倒なので省略。
l, m, n は有理数に限るとかすると、途端にむずかしくなる。ちょっと考えてみたのだが、うまいやり方は見つからなかった。整数論の知見が必要になると思うけれど、僕は数学のセンスがないので整数論は苦手である。Ruby数値計算させてみようかとも考えたのだが、よい手法を思いつかなかった。本質的には、2元2次方程式有理数解の導出である。(傾いた)楕円の有理数点と考えてもよい。誰か教えてください。
なお、(l, m, n) 空間内で式(1), (2) の表すのは 3次元空間内の円である。その中心Oと半径Rは
  
となる(たぶん)。導出の過程はこれを見ておられる方々に任せよう。


※追記
上の式(1), (2) の連立方程式ですが、Python機械的に解けますね。
Python に連立方程式を解かせる - Camera Obscura
これなら、求めようと思えば簡単に17個の解を求めることもできそうです。
→求めてみました。18個ですが(笑)
http://obelisk704.web.fc2.com/storeroom/SimultaneousEq1.html