複素数 z を z = x + iy と書く。もちろん x, y は実数、i は虚数単位(i2 = -1)である。複素数の構成はここを参照。
x は z の実部、y は z の虚部といい、x = Re z, y = Im z と記す。
z の共役複素数 z* を z* = x - iy で定義する。この書き方は物理学でよく使われ、数学では と書かれることが普通だが、PC では前者の方が書きやすい。
i* = -i、また a を実数とすると a* = a である。また、(z*)* = z である。
x = Re z = (z + z*) / 2, y = Im z = (z - z*) / 2i は基本的(i で「割る」ことに関しては、下を参照)。
(z + w)* = z* + w*, (zw)* = z*w*。
z の絶対値 |z| を で定義する。z の絶対値は実数。
|z*| = |z|。また、|z|2 = z*z。
ここより z-1 = (x - iy) / (x2 + y2) だから、z-1 = z* / |z|2。したがって |z-1| = 1 / |z|。
ついでに、逆元 z-1 については、z-1 = 1 / z のように「分数」のように記す。これを使うと、i-1 = 1 / i = -i。
以上、問題ないですね?