変分原理について（１） - オベリスク備忘録

ラグランジアンが極値を取ることと、ニュートンの運動方程式が同値であることを示そう。以下は三次元でやってあるが、n次元でも同じ筈である。
まず、「道」と呼ばれる写像を、 $\mathbf{x}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^3$ で定義する。また、ラグランジアンを
　　　 $\mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{\dot{x}})=\int_{0}^1{}\left ( \frac{\left \| \dot{x}(t) \right \|^2}{2}-V(\mathbf{x}(t)) \right )dt$
で定義する（簡単のため質量は 1 とした）。ここで、 $\Delta \mathbf{x}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^3$ なる写像で $\Delta \mathbf{x}(0)=\Delta \mathbf{x}(1)=\mathbf{0}$ を満たすものを考え、 $\Delta \mathbf{x}_\delta (t)=\mathbf{x}(t)+\delta \Delta \mathbf{x}(t)$ と置く。このとき、ラグランジアンが極値を取るとは、
　　　 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta }\mathcal{L}(\mathbf{x}_\delta, \dot{\mathbf{x}}_\delta)\Big|_{\delta =0}=0$
が成立することであるから、これを計算する。
すなわち、
　　　 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta }V(\mathbf{x}_\delta (t))=\mathrm{grad}\ V(\mathbf{x}_\delta (t))\cdot\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\delta}{\mathrm{d} t}$
に注意して（参照）、
　　　 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta }\mathcal{L}(\mathbf{x}_\delta, \dot{\mathbf{x}}_\delta)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta}\int_{0}^1{}\left ( \frac{\left \| \dot{x}_\delta(t) \right \|^2}{2}-V(\mathbf{x}_\delta(t)) \right )dt$
　　　　　 $=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta}\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\delta}{\mathrm{d} t}\cdot\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\delta}{\mathrm{d} t}-\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\delta}{\mathrm{d} \delta}\cdot\mathrm{grad}\ V(\mathbf{x}_\delta(t)) \right )\mathrm{d}t$
　　　　　 $=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\mathrm{d} \Delta \mathbf{x}}{\mathrm{d} t}\cdot\frac{\mathrm{d} \mathbf{x}_\delta}{\mathrm{d} t}-\Delta \mathbf{x}\cdot\mathrm{grad}\ V(\mathbf{x}_\delta(t)) \right )\mathrm{d}t$
となる。ここで δ = 0 とすると、 $\Delta \mathbf{x}(0)=\Delta \mathbf{x}(1)=\mathbf{0}$ に注意しつつ、右辺第一項を部分積分して
　　 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \delta }\mathcal{L}(\mathbf{x}_\delta, \dot{\mathbf{x}}_\delta)\Big|_{\delta =0}=\int_{0}^{1}\left( \Delta \mathbf{x}\cdot\left(-\frac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2}\mathbf{x}(t)-\mathrm{grad}\ V(\mathbf{x}(t))\right) \right )\mathrm{d}t$
であるから、右辺は 0、すなわち
　　　 $\frac{\mathrm{d}^2 }{\mathrm{d} x^2}\mathbf{x}(t)=-\mathrm{grad}\ V(\mathbf{x}(t))$
が得られる。これはニュートンの運動方程式に他ならない（質量は 1）。