確率の加法定理

確率の加法定理の証明がおもしろい。

E, F を確率事象とするとき、
　　

（証明）まず、確率事象の族 {E₁, E₂,…, E_n} が排反ならば、
　　
なる定理を認めておく。
まず、
　　　
と置けば、明らかに
　　　。
また、
　　
　　　　　　　
　　　　　　　
より族 {E₁, E₂, E₃} は排反である。一方、
　　　　
　　　　　
　　　　　
であり、かつ
　　　
　　　
となる。よって、上の定理より
　　　
　　　　　　
である。（証明終）
　ただし、途中 を使った。集合の演算をゴリゴリやるだけで、証明できてしまうのがミソ。
　ちなみに、E, F が排反とは、E と F の共通部分が空集合であるということ。集合族が排反とは、そのどの二つの元も排反であるということ。

確率論入門 (ちくま学芸文庫)