ベクトル空間の次元は基底の取り方によらないこと

（定理）Ｖをベクトル空間とし、その或る基底は n 個の元を持ち、また他の基底は m 個の元を持つとする。このとき、m＝n である。

（証明）仮に n＞m とすると、下の定理により、n 個の元からなる方の基底（をなすベクトルの組）は一次従属になってしまうが、もとよりこれは基底ということに反する。したがって n＞m ではない。まったく同様に m＞n でもない。ゆえに m＝n。証明終。

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