（定理）Ｖを体Ｋの上のベクトル空間、{v1,…,vm} をＫの上のＶの基底とする。w1,…,wn がＶの元で、かつ n>m ならば、w1,…,wn は一次従属である。
（証明）{v1,…,vm} は基底であるから、Ｋの元 a1,…,am が存在して
w1＝a1v1＋… ＋amvm
と表せる。仮定より w1≠Ｏである（でなければ直ちに w1,…,wn は一次従属）から、ここで a1≠0 として一般性を失わない。ゆえに上を v1 について解いて、
となるから、w1,v2,…,vm で生成されるＶの部分空間は、v1 を含む。ところが、v1,v2,…,vm はＶを生成するのだから（Ｖの基底）、Ｖのすべての元はこの部分空間に含まれる。――という考え方を繰り返していくと、v2,v3,…を次々に w2,w3,…で置き換えることができ、最終的に v1,…,vm はすべて置き換えられて、w1,…,wm がＶを生成することになる（でなければ、w1,…,wm は一次従属、従って w1,…,wn も一次従属でおしまい）。（ここまでが r=1 の場合である）。
さて、数学的帰納法で考える。いま、1≦r＜m である整数 r が存在して、（一次独立である v1,…,vm の番号を適当に付け替えて）Ｖの元 w1,…,wr,vr+1,…,vm がＶを生成すると仮定する。すると、
となるＫの数 b1,…,br,cr+1,…,cm が存在する。ここで、すべての j＝r+1,…,m に関して cj＝0 であれば、w1,…,wr+1 のあいだに一次従属の関係が得られるから、ここで証明はおわりである。また、或る cj≠0 であるならば、ここで cr+1≠0 としても一般性を失わないので、
を得る。ここで両辺を cr+1 で割れば、vr+1 はＶの元 w1,…,wr+1,vr+2,…,vm が生成する部分空間に含まれることがわかる。よって帰納法の仮定より、w1,…,wr+1,vr+2,…,vm はＶを生成すると云える。――かくして数学的帰納法より、w1,…,wm は（もしこれらが独立ならば）Ｖを生成することが証明された。
よって、n＞m ならば、
wn＝d1w1＋…＋dmwm
となるＫの数 d1,…,dm が存在し、w1,…,wn は一次従属である。（証明終）
この定理は直観的には明らかかも知れないが、証明は結構面倒であるな。これは次の定理の証明のために使う。
