双線形形式を表す行列と座標変換

双線形形式 g を表す正方行列をＣとして、g は座標ベクトルＸ,Ｙを使って
　　　g(Ｘ,Ｙ)=^tＸＣＹ
のように書ける（参照）。
ここで、このベクトル空間の基底を変えたとし、新しい基底によって、それら座標ベクトルがＸ',Ｙ'のように変換されたとする。このとき、Ｘ=ＮＸ',Ｙ=ＮＹ'とする正則行列Ｎが存在し、
　　　 $^tXCY=\ ^t(NX')C(NY')=\ ^tX'(^tNCN)Y'$
となるから、座標ベクトルＸ',Ｙ'に関する、g を表す正則行列は、
　　　^tＮＣＮ
で与えられることになる。

さて、『ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫)』の、p.18 の練習問題（２）をやってみる。
（問題）g を $\mathbf{R}^3$ 上の双線形形式とするとき、標準基底に関して g に対応する行列を
　　　 $C=\begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ -1&1 &1 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$
とする。
　ここで、基底 {(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)} に関して、g に対応する行列を求めよ。
（回答）標準基底に対する座標を (x₁,x₂,x₃), 変換後の座標を (x₁',x₂',x₃') とすると、
　　　 $(x_1,x_2,x_3)=x_1'(1,1,0)+x_2'(0,1,0)+x_3'(1,1,1)$
　　　　　　　　　 $=(x_1'+x_3',\ x_1'+x_2'+x_3',\ x_3')$
だから、ＮＸ'=Ｘは
　　　 $N\begin{pmatrix}x_1'\\ x_2' \\x_3'\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1'+x_3'\\ x_1'+x_2'+x_3'\\ x_3'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 & 1\\ 1 &1 &1 \\ 0&0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1'\\ x_2' \\x_3'\\ \end{pmatrix}$
すなわち
　　　 $N=\begin{pmatrix}1 &0 & 1\\ 1 &1 &1 \\ 0&0 & 1\end{pmatrix}$
となる。よって、上より ^tＮＣＮを求めればよいので、
　　　 $\begin{pmatrix}1 &1 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 1 &1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 & 1\\ 1 &1 &1 \\ 0&0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 &3 &7 \\ 0 &1 &1 \\ 4&3 &9 \end{pmatrix}$
が求めるべき答えである。

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