複素数と調和関数 - オベリスク備忘録

複素数 z = x + iy の正則関数 f(z) は、すべてラプラス方程式を満たしている。このような関数を、「調和関数」という。

正則関数 f(z) = u (x, y) + iv(x, y) は、コーシー＝リーマンの関係式を満たす。すなわち
　　　 $\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)$
　　　 $\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$
である。よって、
　　　 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
だから（途中で偏微分の順番を入れ替えた）、すなわち
　　　 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$
である。まったく同様に、
　　　 $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$
これらは、u(x, y), v(x, y) がラプラス方程式を満たすことを示している。ラプラシアンを
　　　 $\Delta \equiv \frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}$
と置けば、
　　　 $\Delta u=0,\ \ \Delta v=0$
と書ける。

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