複素数の三角関数

複素数三角関数は、以下のように冪級数で定義する。
   
   
これらは、(無限遠点を除いた)複素平面全体で絶対収束する。これはもちろん、z が実数でも成り立つ。また、
   
   
は明らか。


これより、z = x + iy(もちろん x, y は実数)とすると、指数法則より
   
     
     
     
となる。普通は、これが複素数の指数関数の定義になっている本が多い。ここで z = iθ(θは実数)と置けば、オイラーの公式
   
が得られる。


複素数の指数関数の定義より、
   
     
となるから(z は複素数であることに注意。これはオイラーの公式ではない)、z を -z で置き換えて、
   
となる。よって、
   
   
となる。これも z が複素数であることに注意。