双線形形式

Kを、∨,WをKの上のベクトル空間とする。このとき、写像 g:∨×W→K が次の条件を満たすとき、写像 g は双線形写像であるという。
(1)すべての v1,v2∈∨、w∈Wに関して、
     
   かつ、すべての v∈∨、w1,w2∈Wに関して、
     
(2)すべての c∈K、v∈∨、w∈Wに関して、
     


写像 g を明示する必要がないときは、
   
などと書く。こうすると、双線形写像の性質は、内積の性質とよく似たものとなる。


∨とWが同じ空間∨であるときは、写像 g は∨×∨からKの中への写像であるから、g は∨の上の双線形形式であるという。
 写像 g,g' がどちらも∨の上への双線形形式であるならば、和 g+g' を作ることができ、これもまた双線形である。また、c∈Kならば、写像 cg も双線形である。したがって、∨の上への双線形写像の集合は、Kの上のベクトル空間をなす。


ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫)

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