双線形形式

Ｋを体、∨,ＷをＫの上のベクトル空間とする。このとき、写像 g:∨×Ｗ→Ｋ が次の条件を満たすとき、写像 g は双線形写像であるという。
（１）すべての v₁,v₂∈∨、w∈Ｗに関して、
　　　　　
　　　かつ、すべての v∈∨、w₁,w₂∈Ｗに関して、
　　　　　
（２）すべての c∈Ｋ、v∈∨、w∈Ｗに関して、
　　　　　

写像 g を明示する必要がないときは、
　　　
などと書く。こうすると、双線形写像の性質は、内積の性質とよく似たものとなる。

∨とＷが同じ空間∨であるときは、写像 g は∨×∨からＫの中への写像であるから、g は∨の上の双線形形式であるという。
　写像 g,g' がどちらも∨の上への双線形形式であるならば、和 g+g' を作ることができ、これもまた双線形である。また、c∈Ｋならば、写像 cg も双線形である。したがって、∨の上への双線形写像の集合は、Ｋの上のベクトル空間をなす。

ラング線形代数学(下) (ちくま学芸文庫)

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