集合∨と体Ｋがあるとする。∨には演算「加法」が定められており、また∨の元とＫの元の「積」（スカラー倍。これは∨の元になる）もまた定められているとき、下の性質が満たされれば、∨はＫ上のベクトル空間と呼ばれる。
（１）∨の任意の３つの元 u,v,w について、(u+v)+w=u+(v+w)。
（２）∨のある元Ｏ（単位元）が存在して、∨の任意の元 u に関して Ｏ+u=u+Ｏ=u。
（３）∨の任意の元 u と元 (-1)u に関して、u+(-1)u=Ｏ。
（４）∨の任意の元 u,v に関して、u+v=v+u。
（５）c が数（Ｋの元ということ）ならば、c(u+v)=cu+cv。
（６）a,b が２つの数ならば、(a+b)u=au+bu。
（７）a,b が２つの数ならば、(ab)u=a(bu)。
（８）∨のすべての元 u と、数の単位元 1 に関し、1・u=u。
