だいぶ日にちが開いてしまったが、実数の偏微分の定義からコーシー=リーマンの関係式を導こう。
まず、複素数 f(z),A,εを、実数部分と虚数部分に分けて
と置く。このとき、 と置くと、複素関数の微分すなわち
で のとき は、次の式になる。
これの実数部分は
また虚数部分は
となる。ここで、 のとき はすなわち、 のとき に他ならないから、偏微分の定義より、第一式からは
第二式からは
が得られる。これらより、
すなわち、これがコーシー=リーマンの関係式に他ならない。