位数 n の有限群Ｇから、n 次の対称群 への準同型写像
が存在する。この準同型写像
は、Ｇの左からの働き
によって引き起こされる。同様に、Ｇ自身の上への、右側からの働き
や、両側からの働き
によっても、Ｇから
への準同型写像が得られる。かかる準同型写像を、Ｇから
への「表現」などという。準同型写像が一対一（単射）なら、それは「忠実な表現」であると言われる。
どういうことか、群Ｇの左からの働きを使って説明しよう。有限群Ｇの位数を n とし、Ｇの元を適当に並べて
とする。これらに群Ｇを左から働かせると、g∈Ｇの働きで、（１）は
へと変わる。ところが、
より、（２）は（１）を並べ替えたものに過ぎない。すなわち、g によって或る置換が引き起こされるということは、g から或る置換への対応 があることを示している。そして、置換は群（n 次の対称群）を作るので、その対称群の演算と、Ｇの元 g の演算を、写像
によって対応させることができる。すなわち
である。これが、上の準同型写像 なのである。
なお、かかる準同型写像を「表現」と呼ぶのは、Ｇが任意の抽象的な有限群なのに対し、 は具体的なイメージのある、対称群であるからなのである。考えてみれば、これらが対応するのは、不思議な感じがしないでもない。
なお、Ｇの右からの働き を用いた準同型写像
を考えると、これもまったく同様である。そして、
と
は共に、Ｇから
への一対一写像である。
けれども、Ｇの両側からの働き からも準同型写像
が得られるが、これは必ずしも一対一写像ではない。実際、例えばＧが可換群ならば、
となって、すべて恒等写像になってしまう。よって一対一写像ではない。
つまり、 と
は忠実な表現を与えているが、
は表現を与えているものの、それは忠実でない。
