群の位数と元の位数

(定理) 有限群Gの元 a の位数は、|G|の約数である。
(証明) a から生成された巡回部分群をHとする。Hの位数|H|は、a の位数と一致している。一方、|H|は|G|の約数である(参照)。よって、a の位数は|G|の約数となる。(証明終)


さらにこの結果より、a の位数を k とすると、|G|=ks(s は自然数)と表せる。よって、単位元を e とすると、
    
すなわち、有限群Gの任意の元に関して、 が成り立つ。